Keyframe Animation(关键帧动画)

  • 动画流程：给出关键帧并通过算法补充中间的动画

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Interpolation

  • 给定一系列关键点，计算关键点之间的点的值是多少——找f(x)映射：
    1. 关键点间的值：内插
    2. 关键点外的值：外插

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Stepped Interpolation

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  • 阶梯差值缺点：不够平滑，函数不连续

Linear Interpolation

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  • 线性插值缺点：运动的时候可能突然改变速度(C1不连续)，函数光滑性不够，C0连续

  • 解决方法：需要非线性的插值

Polynomial Interpolation(多项式插值)

  • 如果用单一的多项式进行插值，则有多少点就需要多少方程

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  • 可以写成矩阵形式用待定系数法求解：

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  • 问题：高次项有龙格现象：高次项插值虽然插值过所有点，曲线光滑，但是抖动幅度很大

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Spline Interpolation

  • 使用一阶的样条进行插值：类似于线性插值

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  • 常使用三次样条进行插值(Cubic Splines)：

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  • 使用待定系数法求解：上例有 N 个段，4N 个未知参数，加入一些约束求解：

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  • 可以写成矩阵求解，但是这个矩阵很大，而且由于矩阵没有分块“牵一发而动全身”，每个参数都会产生全局影响

Cubic Hermite Splines

  • 只保留第一项约束，去掉其他约束

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  • 由于约束不够因而有多解，可以在端点位置加以约束从而用待定系数法求解：
    1. 端点的值必须等于给定值
    2. 端点的导数必须等于给定值

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  • 可以将其分解为两个矩阵，左矩阵是常数矩阵，右矩阵是需要给出的参数

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  • 将这几个多项式命名为Hermite多项式，可得左矩阵是Hermite矩阵，右矩阵是需要给出的参数：

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Catmull-RomSpline

  • Cubic Hermite Splines需要给出端点的值和端点的导数的值，导数的值可以加以约束，如导数的值是端点间连线的导数值

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Interpolation of Rotations

  • 旋转表示的几种形式：

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  • 其中旋转矩阵无法插值，欧拉角、轴角表示和四元数可以进行插值，但是旋转速度不恒定

SLERP for Quaternions

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Interpolation in a 2D space

  • 在2D空间上插值得到曲面而非曲线

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  • 在2D平面上给出一系列点，用不同颜色表示，问题：给出一个新的点，求点的颜色

Bilinear Interpolation

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Barycentric Interpolation

  • 通过重心坐标来求不同插值的权重

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Blend Space

  • 2D空间上插值的一个线性形式：可以先将平面中划分为三角形，再从三角形内部使用Barycentric Interpolation

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Scattered Data Interpolation

  • 不希望线性插值，希望有非线性性质。若给出的点是随机散步在平面上，则可以使用散点插值，插值出形状

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Radial Basis Function (RBF) Interpolation

  • 镜像基函数法：每个点影响的大小与距离该点的距离相关，影响程度由镜像基函数决定

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  • 对每一个点可以算出一个距离矩阵，给出一个新的点后，则可算出该点到每个点的距离，再根据距离矩阵得到影响

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  • 离点越近影响越大还是越小由镜像基函数影响

  • Precedure Animation：通过交互产生动画的过程